"Dados dos puntos en un plano vertical a diferente altura, hallar la curva por la que una partícula móvil, descendiendo sólo por su propio peso, alcanza el punto inferior en el menor tiempo posible"
Descripción
El dispositivo consta de tres curvas de madera sobre las cuales pueden deslizarse pequeñas esferas. Por medio de unas ranuras movibles, uno puede asegurarse de que dichas esferas partan simultáneamente desde el punto más alto.
En el año 1696, el matemático Johann Bernoulli (1667-1748) desafió con el siguiente enigma a los más eminentes matemáticos de su época: "Dados dos puntos en un plano vertical a diferente altura, hallar la curva por la que una partícula móvil, descendiendo sólo por su propio peso, alcanza el punto inferior en el menor tiempo posible".
No se trataba de un enigma nuevo. Ya en 1638, Galileo había presentado como solución a la curva descripta por un arco de circunferencia. Sin embargo, la respuesta unánime de quienes resolvieron definitivamente el problema en 1696 fue la curva cicloide, que se obtiene de observar las posiciones de un punto fijo en una circunferencia que rueda sin deslizar en un plano horizontal (ver figura). En efecto, cinco matemáticos respondieron al problema. Ellos fueron: el propio Johann Bernoulli, su hijo Jacob, de L'Hôpital y Leibniz. La quinta respuesta era anónima y estaba escrita en latín. Fue entonces cuando Bernoulli inmortalizó su famosa frase "Por las garras se reconoce al león", ya que no podía tratarse sino de Isaac Newton. Por ese entonces el inglés era ya el director de la Casa de Moneda, en Londres, y se encontraba prácticamente retirado de la actividad científica. Evidentemente, su capacidad matemática no había sido opacada por el trabajo burocrático. De hecho, Bernoulli y Leibniz habían concebido todo el desafío tan sólo para llamar la atención de Newton, ya que su resolución requería del cálculo diferencial, cuya prioridad de invención se encontraba en disputa entre el alemán y el inglés.
Uso
Su uso es didáctico. La finalidad del aparato se encuentra en una corroboración empírica del resultado del enigma.
La cicloide es braquistócrona. Esto quiere decir que es la curva de descenso más rápido. Es decir, en la animación siguiente el punto B, que recorre un arco de cicloide, llega antes abajo (punto C) que el punto A, que se mueve en línea recta. Es así aunque por la cicloide se recorre más espacio, pero desde luego se va más rápido. De todas las formas está claro que el camino más corto hasta el punto C es a lo largo de la recta. Observa que la velocidad a lo largo de la recta es constante mientras que en la cicloide va aumentando a medida que se recorre, debido a la variación de la recta tangente en cada uno de sus puntos.
Dados los puntos A y B situados en un plano vertical, entre todas las curvas situadas en el plano vertical, que une los puntos A y B, queremos determinar la que es recorrida en el menor tiempo posible por un punto móvil M, de masa puntual, sometido a la acción de la gravedad. La linea recta es la trayectoria mas corta entre do puntos, sin embargo no es la que permite el descenso mas rápido, sino que es una curva plana que se llama braquistócrona (del griego Braquis, corto, cronos y tiempo). El problema de la braquistócrona y otro semejante, en el siglo XVII, dieron lugar, en manos del gran matemático Euler, a lo que se conoce como cálculo de variaciones, de fundamental importancia y mecánica teórica. ¿ Y cómo se ve una braquistócrona? Basta tomar un círculo, como una rueda de bicicleta, amarrar un lápiz en su periferia y colocarlo verticalmente contra una pared. Uniendo el circulo a rodar, pegado a la pared y sin resbalar, el lapiz trasara sobre la pared una “cicloide” que es la trayectoria buscada. Invirtiendo esta curva( o poniendo a rodar la rueda sobre el techo, no sobre el piso), se obtendrá una braquistócrona. El arco de esta curva, entre los puntos A y B es la braquistócrona.
La cicloide tiene por ecuación: 
x(T) = x + a(t-sent)
y(T) = y – (1- cost) para un punto inicial (x, y)
El problema se solucionó en el siglo XVII y conllevó polémica involucrando a los mejores matemáticos de la época. El problema fue resuelto por Newton en diez horas, fue quien dio la solución más perfecta y elegante.
